ความหมายของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน | |||
| |||
หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่ | |||
1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน | |||
2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน | |||
3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน |
ฟังก์ชันจาก A ไป B
• ฟังก์ชันจาก A ไป B | ||
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B | ||
• ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B | ||
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย f : A | ||
• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B | ||
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R f แล้วมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถ้า f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2 | ||
• ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด | ||
ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df | ||
♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A | ||
| ||
♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A | ||
| ||
ฟังก์ชันที่ควรรู้จัก
• ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function) | ||||||||||||
| ||||||||||||
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง | ||||||||||||
| ||||||||||||
• ฟังก์ชันขั้นบันได (step function) | ||||||||||||
| ||||||||||||
กราฟของฟังก์ชันนี้จะมีรูปร่างคล้ายขั้นบันได | ||||||||||||
| ||||||||||||
• ฟังก์ชันกำลังสอง (quadratic function) | ||||||||||||
| ||||||||||||
กราฟของฟังก์ชันกำลังสองจะมีลักษณะเป็นรูปพาราโบลา | ||||||||||||
| ||||||||||||
• ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function) | ||||||||||||
| ||||||||||||
• ฟังก์ชันตรรกยะ (rational function) | ||||||||||||
| ||||||||||||
• ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function) | ||||||||||||
f เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ ก็ต่อเมื่อ มีำจำนวนจริง p ที่ทำให้ f(x+p) = f(x) สำหรับ ทุกค่าของ x และ x+p ที่อยู่ในโดเมนของ f | ||||||||||||
ฟังก์ชันอินเวอร์ส เนื่องจากฟังก์ชัน คือ รูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ ดังนั้น การหาอินเวอร์สของฟังก์ชันจึงหาได้ เช่นเดียวกับการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ เพียงแต่อินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป | ||||||||||
ตัวอย่างเช่น | กำหนด | f = {(1,2) ,(2,3) ,(3,4)} | ||||||||
∴ | f-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(4,3)} เป็นฟังก์ชัน | |||||||||
กำหนด | g= {(1,2) ,(2,3) ,(4,2)} | |||||||||
∴ | g-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(2,4)} ไม่ เป็นฟังก์ชัน | |||||||||
เรียกอินเวอร์สของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันว่า "ฟังก์ชันอินเวอร์ส" จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า ฟังก์ชันที่จะมีฟังก์ชันอินเวอร์สได้ จะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง | ||||||||||
สมบัติของฟังก์ชันอินเวอร์ส | ||||||||||
| ||||||||||
ฟังก์ชันคอมโพสิท (Composite Function)
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg≠ Ø ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg |
ตัวอย่างที่1 ให้ f: A → B และ g : B → C ดังแสดงในแผนภาพ | |||||
 | |||||
f = {(1,5), (2,4), (3,6)} และ | |||||
g = {(4,7), (5,7), (6,8)} | |||||
(gof)(1) | = g(f(1)) | = g(5) | = 7 | ||
(gof)(2) | = g(f(2)) | = g(4) | = 7 | ||
(gof)(3) | = g(f(3)) | = g(6) | = 8 | ||
∴ gof | = {(1,7), (2,7), (3,8)} และ Dgof = A | ||||
ข้อสังเกต | จากตัวอย่างที่ 1 จะเห็นว่าไม่มี fog เพราะ R f ∩ Dg=Ø | ||||
พีชคณิตของฟังก์ชัน (Agebra of Function)
| |||||||||||||
จากบทนิยามจะได้ | f + g (x) | = f(x) + g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg | |||
f - g (x) | = f(x) - g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg | ||||
f · g (x) | = f(x) · g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg | ||||
(x) | = | ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 | |||
